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<title>Fourier-Analysis</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fourier-Analysis</h1>

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</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Fourier-Analysis (Aussprache: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r227981795">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .IPA a{text-decoration:none}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a href="Liste_der_IPA-Zeichen" title="Liste der IPA-Zeichen">fuʁie aˈnaːlyzɪs</a>), die auch als Fourier-Analyse oder klassische harmonische Analyse bekannt ist, ist die Theorie der <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihen</a> und <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Integrale</a>. Sie wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen. Aus der Summe dieser Frequenzanteile lässt sich das Signal wieder rekonstruieren.

Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt ist sie nach dem <a href="Frankreich" title="Frankreich">französischen</a> Mathematiker <a href="Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Jean Baptiste Joseph Fourier</a>, der im Jahr 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte.

Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> (<a href="Akustik" title="Akustik">Akustik</a>, <a href="Optik" title="Optik">Optik</a>, <a href="Gezeiten" title="Gezeiten">Gezeiten</a>, <a href="Astrophysik" title="Astrophysik">Astrophysik</a>) über viele Teilgebiete der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> (<a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>, <a href="Statistik" title="Statistik">Statistik</a>, <a href="Kombinatorik" title="Kombinatorik">Kombinatorik</a> und <a href="Wahrscheinlichkeitstheorie" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitstheorie</a>), die <a href="Signalverarbeitung" title="Signalverarbeitung">Signalverarbeitung</a> und <a href="Kryptographie" title="Kryptographie">Kryptographie</a> bis zu <a href="Meereskunde" title="Meereskunde">Meereskunde</a> und <a href="Wirtschaftswissenschaft" title="Wirtschaftswissenschaft">Wirtschaftswissenschaften</a>. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die <a href="Frequenz-Transformation" class="mw-redirect" title="Frequenz-Transformation">Frequenz-Transformation</a> des Schalls in <a href="Harmonische" title="Harmonische">Oberschwingungen</a>.

Aus Sicht der <a href="Harmonische_Analyse" title="Harmonische Analyse">abstrakten harmonischen Analyse</a> sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a>, die <a href="Mellin-Transformation" title="Mellin-Transformation">Mellin-Transformation</a> oder auch die <a href="Hadamard-Transformation" title="Hadamard-Transformation">Hadamard-Transformation</a> Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation.

Die Fourier-Analysis ist jedoch nicht auf zeitliche Signale begrenzt. Sie kann sinngemäß auch bei <a href="Frequenzspektrum#Ortsfrequenzspektren" title="Frequenzspektrum">örtlichen</a> oder anderen Phänomenen verwendet werden. Z. B.: In der Bildverarbeitung wird eine 2-dimensionale Fourier-Analyse verwendet (siehe den entsprechenden Absatz in „<a href="Diskrete_Fourier-Transformation" title="Diskrete Fourier-Transformation">Diskrete Fourier-Transformation</a>“). Und die Fourier-Analyse kann auch auf Fourier-Spektren selbst angewendet werden, um Periodizitäten in Spektren oder andere Regelmäßigkeiten zu erkennen (<a href="Cepstrum" title="Cepstrum">siehe: Cepstrum</a>, <a href="Hilbert-Transformation" title="Hilbert-Transformation">Hilbert-Transformation</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Varianten_der_Fourier-Transformation">Varianten der Fourier-Transformation</h2></div>

Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.

Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es vier Varianten, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt:

<ol><li>Eine in einem endlichen Intervall periodische fortgesetzte Funktion kann in eine <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a> zerlegt werden. Das Spektrum ist somit diskret.</li>

<li>Ein Vorgang, der aperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">kontinuierliche Fourier-Transformation</a> (auch Fourier-Integral). Dabei wird ein kontinuierliches Zeitsignal in ein kontinuierliches Spektrum transformiert.</li>

<li>Sind von einem Vorgang nur Werte an <a href="Diskrete_Teilmenge" title="Diskrete Teilmenge">diskreten</a>, äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt – durch diese Intervallbildung entsteht eine periodische Fortsetzung – wird die <a href="Diskrete_Fourier-Transformation" title="Diskrete Fourier-Transformation">diskrete Fourier-Transformation</a> (DFT) angewendet und ein diskretes Frequenzspektrum mit Spiegelspektren entsteht. Die DFT und deren Optimierungen in Form der <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnellen Fourier-Transformation</a> (FFT) spielen in der <a href="Digitale_Signalverarbeitung" title="Digitale Signalverarbeitung">digitalen Signalverarbeitung</a> eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein Musikstück, von welchem zur Speicherung auf einer herkömmlichen Audio-<a href="Compact_Disc" title="Compact Disc">CD</a> pro Sekunde 44.100 Amplitudenwerte des Audiosignals abgetastet werden.</li>

<li>Mit der DFT verwandt ist die <a href="Fouriertransformation_f%C3%BCr_zeitdiskrete_Signale" title="Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale">Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale</a> (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> discrete-time Fourier transform, DTFT), welche ebenfalls von zeitlich diskreten Werten ausgeht, aber im Gegensatz zur DFT ein kontinuierliches Spektrum bildet. Sie ist damit für die Spektralanalyse auf Digitalcomputern nicht unmittelbar anwendbar, findet aber bei der theoretischen Analyse von Signalen im Spektrum Anwendung, da sich dabei das Spektrum statt in einer Folge unter Umständen als ein geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt.<a href="#cite_note-1">[1]</a></li></ol>

Man erhält bei allen Transformationen ein <a href="Frequenzspektrum" title="Frequenzspektrum">Frequenzspektrum</a>, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:

<th>Variante

</th>

<th><a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> von x

</th>

<th><a href="Periodizit%C3%A4t" title="Periodizität">Periodizität</a> von x

</th>

<th><a href="Frequenzspektrum" title="Frequenzspektrum">Frequenzspektrum</a>

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourier-Reihe</a>

</td>

<td>kontinuierliches Intervall

</td>

<td>periodisch

</td>

<td>diskret

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Kontinuierliche_Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Fourier-Transformation">Kontinuierliche Fourier-Transformation</a>

</td>

<td>kontinuierlich

</td>

<td>aperiodisch

</td>

<td>kontinuierlich

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Diskrete_Fourier-Transformation" title="Diskrete Fourier-Transformation">Diskrete Fourier-Transformation</a> (DFT)

</td>

<td>diskret, endlich

</td>

<td>aperiodisch, periodisch fortgesetzt

</td>

<td>diskret, endlich

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Fouriertransformation_f%C3%BCr_zeitdiskrete_Signale" title="Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale">Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale</a> (DTFT)

</td>

<td>diskret, endlich

</td>

<td>aperiodisch

</td>

<td>kontinuierlich

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fourierreihen">Fourierreihen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a></div>

Jede <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbare</a> Funktion, die auf dem <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,T]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,T]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35ccef2d3dc751e081375d51c111709d8a1d7ac6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.126ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,T]}" loading="lazy"> definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, das heißt, beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=1/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=1/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b54663fc3208bdb3ebda9d7ffa30fa41d631d7c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F=1/T}" loading="lazy"> und den <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenzen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/262bba38bb612e39849f32c07247723f9353e606.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.889ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}" loading="lazy"> gilt:

<msub>

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</mover>

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</mrow>

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</msqrt>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{T}x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\omega _{k}t}\mathrm {d} \,t\quad {\text{und}}\quad x(t)={{\sqrt {2\pi }}F}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega _{k}t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e23f81693b79bd43a48fed3f8a7c4853b0a896c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:62.377ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{T}x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\omega _{k}t}\mathrm {d} \,t\quad {\text{und}}\quad x(t)={{\sqrt {2\pi }}F}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega _{k}t}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner <a href="Messbare_Funktion" title="Messbare Funktion">messbare</a> <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum">quadratintegrable</a> Funktionen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sprungstellenverfahren_für_Polygonzüge">Sprungstellenverfahren für Polygonzüge</h4></div>

Bei einem periodischen Polygonzug <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> (Punkte durch gerade Linien verbunden) liefern die Knick- und eventuell vorhandene Sprungstellen die Beiträge zu den Fourierkoeffizienten

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

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</munderover>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{{\text{i}}\pi k}}\left(\sum _{k=1}^{r}s_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t_{i}}+{\frac {1}{{\text{i}}\omega _{k}}}\sum _{k=1}^{r'}s'_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t'_{i}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a81397ae69e490f0a7e327eb662ad4330d14f342.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle c_{k}={\frac {1}{{\text{i}}\pi k}}\left(\sum _{k=1}^{r}s_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t_{i}}+{\frac {1}{{\text{i}}\omega _{k}}}\sum _{k=1}^{r'}s'_{i}{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega _{k}t'_{i}}\right)}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,2,\dots ,\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,2,\dots ,\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74ffd72b9d47d01e8dcaf2b0ef83335f3d197144.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.171ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,2,\dots ,\infty }" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit diesen und dem Mittelwert einer Periode

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}={\frac {1}{2T}}\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}^{+}+x_{i+1}^{-})(t_{i+1}-t_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adad6ed75de6ba4ce693fa44786a785cccd15d08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.608ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle x_{0}={\frac {1}{2T}}\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}^{+}+x_{i+1}^{-})(t_{i+1}-t_{i})}" loading="lazy"></dd></dl>

lässt sich die Ausgangsfunktion als die harmonische Summe

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|\cos \left(\omega _{k}t+\arg c_{k}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a91eca915b5f30cc79b19e797ab4d016bf49b445.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.674ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|\cos \left(\omega _{k}t+\arg c_{k}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

synthetisieren.

Die Abszissen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b61e3d4d909be4a19c9a554a301684232f59e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.639ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{i}}" loading="lazy"> der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Stützwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> (bei Sprüngen: Stützwertpaare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}^{-}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202021401f451c2ba4ab43eddb2f8644e2610249.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{i}^{-}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89b5a4feb798c9d34d33200239a28f02cc6df2c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{i}^{+}}" loading="lazy">) müssen in derselben Periode liegen, aufsteigend geordnet sein und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{n}<t_{1}+T}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{n}<t_{1}+T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9eb6e283771649bc41b1061d83af104e0c18624.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.527ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{n}<t_{1}+T}" loading="lazy"> erfüllen.

Die Wertsprünge

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}=x_{i}^{+}-x_{i}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4bdd4746f723177496be4fbf89925edeab67779.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.51ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle s_{i}=x_{i}^{+}-x_{i}^{-}}" loading="lazy"></dd></dl>

an den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> Sprungstellen werden jeweils als Differenz ihres rechts- und linksseitigen Grenzwerts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89b5a4feb798c9d34d33200239a28f02cc6df2c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{i}^{+}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}^{-}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202021401f451c2ba4ab43eddb2f8644e2610249.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x_{i}^{-}}" loading="lazy"> berechnet, die Ableitungssprünge

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s'_{i}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{+})-{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{-})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68ca159e6b10dff762f620bb831eed5a8c215bb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.97ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle s'_{i}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{+})-{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}(t_{i}'^{-})}" loading="lazy"></dd></dl>

an den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20f4d06078c3550f2cd0812005ba6301d12cc4c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.733ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r'}" loading="lazy"> Knickstellen analog als Differenz der rechts- und linksseitigen ersten Ableitung.

Die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f8052630e67b00d04e3487e1d68ed7070470b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.096ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{k}}" loading="lazy"> betragen das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}}">

<msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8f7e775902267b5b6520b9395604e731d181d8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.981ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2/\pi }}}" loading="lazy">-fache der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/906a8ee19bd53e0d8a67a64717d12d7b9d287f8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}_{k}}" loading="lazy">-Werte; bei dieser Eichung der Fourierkoeffizienten sind die Amplituden der Harmonischen gleich den Beträgen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f8052630e67b00d04e3487e1d68ed7070470b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.096ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{k}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kontinuierliche_Fourier-Transformation">Kontinuierliche Fourier-Transformation</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a></div>

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\omega }\{x(t)\}={\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d231f2e02a12f229286f62d428a0e970f3163921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:40.628ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\omega }\{x(t)\}={\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Rücktransformation lautet dazu:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega t}^{-1}\{{\hat {x}}(\omega )\}=x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fe55e5256e627230fc9cdc24009e17f63964892.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:42.957ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega t}^{-1}\{{\hat {x}}(\omega )\}=x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }" loading="lazy">.</dd></dl>

In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ef676eb866fd962ce8fe724b168c57499b2d8af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:3.969ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}" loading="lazy"> nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7ecba54d523d5f3f36ccf88e633ad5dbb753519.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.6ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}}" loading="lazy"> oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist. Außerdem vereinfacht sie die Darstellung des <a href="Satz_von_Parseval" title="Satz von Parseval">Satzes von Parseval</a>:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(\omega )\right|^{2}\,\mathrm {d} \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13173d753cfe8a2fbd28b8dd485e4e2778d55302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.669ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(\omega )\right|^{2}\,\mathrm {d} \omega }" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Bedingung ist zum Beispiel in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Mathematisch gesehen bedeutet die Gleichung, dass die Fourier-Transformation eine <a href="Unit%C3%A4re_Abbildung" title="Unitäre Abbildung">unitäre Abbildung</a> ist, was unter anderem in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> fundamental ist.

Manchmal, zum Beispiel in der <a href="Signaltheorie" title="Signaltheorie">Signaltheorie</a>, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch Spektralfunktion genannte – Fourier-Transformierte von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\nu }\{x(t)\}={\hat {x}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9617b97f857367ed2f284a44e957894bb89456a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.801ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t\nu }\{x(t)\}={\hat {x}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29a1ddd1de44ce0215390948df0e56275fcf2aee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.931ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \nu ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}" loading="lazy"> vermittelt.

Die Rücktransformation lautet dann

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\nu t}^{-1}\{{\hat {x}}(\nu )\}=x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\nu )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c462e4832fb4d8aa8d924f2e6a1c5a60ef2192a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.275ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\nu t}^{-1}\{{\hat {x}}(\nu )\}=x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}(\nu )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi \nu t}\,\mathrm {d} \nu }" loading="lazy">.</dd></dl>

Da hier über die Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }" loading="lazy"> statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskrete_Fourier-Transformation">Diskrete Fourier-Transformation</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Diskrete_Fourier-Transformation" title="Diskrete Fourier-Transformation">Diskrete Fourier-Transformation</a></div>

Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F,T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a9c6ca2b23c462a90ed30ae52d3b4afdba669c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F,T}" loading="lazy"> positive Zahlen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle FT=1/N}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle FT=1/N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c20c97696d21d1b2dbd586e6b51fc8fe60681b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.864ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle FT=1/N}" loading="lazy">, und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M,L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M,L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cda8890e3537220b4086150dad4d2083e9e309f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.059ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M,L}" loading="lazy"> beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{n}=nT}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{n}=nT}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d0360f09bfe2bad059472ebf54f6d03a1a2299.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.188ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{n}=nT}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/262bba38bb612e39849f32c07247723f9353e606.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.889ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}=k(2\pi F)}" loading="lazy"> gilt

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}_{k}=T\sum _{n=-M}^{N-M-1}x_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c694b9457a4243fb0c2963e01eee41014663722.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.482ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}_{k}=T\sum _{n=-M}^{N-M-1}x_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}=F\sum _{k=-L}^{N-L-1}{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02e71d04e1e84eb047b4c6fd2cf134c13bb3a5d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.347ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle x_{n}=F\sum _{k=-L}^{N-L-1}{\hat {x}}_{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}t_{n}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation wird oft die <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnelle Fourier-Transformation</a> (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurzzeit-Fourier-Transformation">Kurzzeit-Fourier-Transformation</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kurzzeit-Fourier-Transformation" title="Kurzzeit-Fourier-Transformation">Kurzzeit-Fourier-Transformation</a></div>

Eine (in gewissem Sinn) zeitaufgelöste Variante der Fourier-Transformation ist die <a href="Kurzzeit-Fourier-Transformation" title="Kurzzeit-Fourier-Transformation">Kurzzeit-Fourier-Transformation</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fourier-Synthese"> Fourier-Synthese</h2></div>

Alle Transformationen, die in der Fourier-Analysis betrachtet werden, haben die Eigenschaft, dass eine entsprechende inverse Transformation existiert. In den <a href="Ingenieurwissenschaft" class="mw-redirect" title="Ingenieurwissenschaft">Ingenieurwissenschaften</a>, der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> und der <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen Mathematik</a> nennt man das Zerlegen einer Funktion in ihr Spektrum ebenfalls Fourier-Analyse. Der Begriff beschreibt also nicht nur dieses Teilgebiet der Funktionalanalysis, sondern auch den Prozess der Zerlegung einer Funktion. Das Darstellen der Ausgangsfunktion mit Hilfe des Spektrums aus der Fourier-Analyse wird als Fourier-Synthese bezeichnet. Da diese Begriffsbildung besonders in den angewandten Wissenschaften üblich ist, tritt diese auch eher im Zusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation und der schnellen Fourier-Transformation auf.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen"> Anwendungen</h2></div>

Die Fouriertransformation besitzt vor allem in den <a href="Ingenieurwissenschaften" title="Ingenieurwissenschaften">Ingenieurwissenschaften</a>, wie der <a href="Signalverarbeitung" title="Signalverarbeitung">Signalverarbeitung</a> und in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a>, bedeutende Anwendungsbereiche. (siehe auch <a href="Fourier-Transformation#Anwendungsfälle" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation#Anwendungsfälle</a>)

Einer der ersten Anwendungen der Fourier-Analysis waren Modelle zur <a href="Gezeitenvorausberechnung" title="Gezeitenvorausberechnung">Vorhersage der Gezeiten</a> im 19. Jahrhundert. Die Gezeiten hängen von mehreren oszillierenden Phänomenen ab, wie der Rotation der Erde gegenüber Sonne und Mond, und eignen sich daher von Natur aus für eine Fourier-Analysis. Basierend auf diesen Modellen wurden <a href="Gezeitenrechenmaschine" title="Gezeitenrechenmaschine">Gezeitenrechenmaschinen</a> entwickelt.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Je nach Anwendung werden auch spezielle Begriffe und <a href="Nomenklatur" title="Nomenklatur">Nomenklaturen</a> verwendet:

<dl><dt>Zeitbereich</dt>

<dd>(<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> time domain) Erfolgt die Analyse oder Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit, so spricht man vom Zeitbereich. Beschreibt die veränderliche Variable eine Position im Raum (z. B. bei der <a href="Digitale_Bildverarbeitung" class="mw-redirect" title="Digitale Bildverarbeitung">digitalen Bildverarbeitung</a>), so wird der Bereich auch als Ortsbereich oder Ortsraum bezeichnet.</dd></dl>

<dl><dt>Zeitsignal</dt>

<dd>Unter einem Zeitsignal versteht man die Beschreibung des Signalverlaufs im Zeitbereich, d. h. als Funktion der Zeit.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Man verwendet den Ausdruck Zeitsignal auch im Zusammenhang mit der <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a>, wenn man sich ausdrücklich auf die Rücktransformierte bezieht. D. h. wenn klargestellt werden soll, dass sich die nun folgende Beschreibung nicht auf das Spektrum des Signals bezieht.</dd></dl>

<dl><dt>Frequenzbereich</dt>

<dd>Als Frequenzbereich oder -raum (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> frequency domain) wird der Bildbereich nach erfolgter Transformation (z. B. durch <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-</a> oder <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a>) bezeichnet. Diese Bezeichnungen gehen auf Arbeiten aus Ende der 1940er Jahre am <a href="Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">MIT Research Laboratory of Electronics</a> zurück.<a href="#cite_note-mit1-5">[5]</a></dd></dl>

In technisch motivierten Anwendungen wird der Bezug zwischen dem Zeitbereich mit der Originalfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> und dem Frequenzbereich mit der Bildfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X(\mathrm {j} \omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X(\mathrm {j} \omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588bb9e1427e1e8a63df44c56f0a2637ec1a26df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X(\mathrm {j} \omega )}" loading="lazy"> auch mit folgender Symbolik dargestellt:

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)\circ \!\!-\!\!\bullet X(\mathrm {j} \omega ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d59d9060568837484c732a0fb28a9551cd709475.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)\circ \!\!-\!\!\bullet X(\mathrm {j} \omega ).}" loading="lazy"></dd></dl>

In der Physik stellt die Fouriertransformation in der Wellenmechanik die Verknüpfung zwischen Zeitbereich und <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenzraum</a> dar. Werden statt Zeitsignale Signale als Funktion des Ortes betrachtet, stellt die Fouriertransformation eine Verknüpfung zwischen dem Ortsraum und den im Frequenzraum vorhandenen <a href="Ortsfrequenz" title="Ortsfrequenz">Ortsfrequenzen</a> bzw. Wellenzahlen dar. In mehreren Dimensionen werden die Wellenzahlen in Form von <a href="Wellenvektor" title="Wellenvektor">Wellenvektoren</a> beschrieben. In der Kristallographie heißt der zum Ortsraum reziproke Frequenzraum <a href="Reziproker_Raum" class="mw-redirect" title="Reziproker Raum">reziproker Raum</a>.

In der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> entsprechen, bis auf einen Proportionalitätsfaktor, die Wellenzahlen dem <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> des Teilchens, woraus sich ein Zusammenhang mit der <a href="Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">heisenbergschen Unschärferelation</a> ergibt. Da Orts- und Impulsraum durch die Fouriertransformation verknüpft sind, führt die Verknüpfung der Ausdehnungen zu einer Unschärfe. Analog ergibt sich auch die Energie-Zeit-Unschärfe aus der Fouriertransformation, wobei hier die Frequenz bis auf den Proportionalitätsfaktor der Energie entspricht und somit eine Verknüpfung von Energie und Zeit durch die Fouriertransformation gegeben ist, die zu einer Unschärfe führt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Schon ab 1740 diskutierten Mathematiker wie <a href="Daniel_Bernoulli" title="Daniel Bernoulli">Daniel Bernoulli</a> und <a href="D%E2%80%99Alembert" class="mw-redirect" title="D’Alembert">d’Alembert</a> die Möglichkeit, <a href="Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">periodische Funktionen</a> als trigonometrische Reihen darzustellen. Die heute bekannte Reihenentwicklung für periodische Funktionen geht auf den französischen Mathematiker Fourier zurück. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts veröffentlichte er sein Werk Théorie analytique de la chaleur, in dem er davon ausgeht, dass jede Funktion in eine trigonometrische Reihe entwickelt werden könne. Er benutzte diese Reihen insbesondere zum Lösen der <a href="W%C3%A4rmeleitungsgleichung" title="Wärmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a>. In diesem Werk führte er auch die kontinuierliche Fourier-Transformation in Form einer <a href="Kosinus-Transformation" class="mw-redirect" title="Kosinus-Transformation">Kosinus-Transformation</a> ein. Mit dieser versuchte er, die Wärmeleitungsgleichung auf unbeschränkten Mengen, insbesondere auf der reellen Achse, zu lösen.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<a href="Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Peter Gustav Lejeune Dirichlet</a> untersuchte diese trigonometrischen Reihen, die heute Fourier-Reihen heißen, weiter und konnte erste <a href="Konvergenz_(Mathematik)" title="Konvergenz (Mathematik)">Konvergenzeigenschaften</a> beweisen. So konnte er 1829 zeigen, dass die Fourier-Reihe <a href="Punktweise_Konvergenz" title="Punktweise Konvergenz">punktweise konvergiert</a>, wenn die Ausgangsfunktion <a href="Lipschitz-stetig" class="mw-redirect" title="Lipschitz-stetig">Lipschitz-stetig</a> ist. Zur exakten Berechnung der Fourier-Koeffizienten führte <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> dann seinen <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Integralbegriff</a> ein und entdeckte 1853 das Lokalisationsprinzip. Das besagt, dass die Konvergenz beziehungsweise Divergenz sowie gegebenenfalls der Wert der Fourier-Reihe einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> durch das Verhalten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in einer beliebig kleinen Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> eindeutig bestimmt ist.<a href="#cite_note-Spektrum-7">[7]</a>

Erst 1876 fand <a href="Paul_Du_Bois-Reymond" class="mw-redirect" title="Paul Du Bois-Reymond">Paul Du Bois-Reymond</a> eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a>, deren Fourier-Reihe nicht punktweise konvergiert.<a href="#cite_note-DuBois-8">[8]</a> In <a href="Satz_von_Fej%C3%A9r" title="Satz von Fejér">seinem Satz</a> konnte <a href="Leopold_Fej%C3%A9r" title="Leopold Fejér">Fejér</a> 1904 jedoch zeigen, dass die Fourier-Reihe für jede stetige Funktion im <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetischen Mittel</a> konvergiert. Im Jahr 1915 warf <a href="Nikolai_Nikolajewitsch_Lusin" title="Nikolai Nikolajewitsch Lusin">Nikolai Nikolajewitsch Lusin</a> die Frage auf, ob die Fourier-Reihe für jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e23ddbe604686bcd44efe74987ff95dd78e2333.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.756ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\in L^{2}}" loading="lazy"> konvergiert. Dies konnte erst 1968 von <a href="Lennart_Carleson" title="Lennart Carleson">Lennart Carleson</a> positiv beantwortet werden und <a href="Richard_Allen_Hunt" title="Richard Allen Hunt">Hunt</a> verallgemeinerte 1968 das Ergebnis auf Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in L^{p}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in L^{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/886e75c9dd0ab24fb24d63c312fb04110a9b0f75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.761ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\in L^{p}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p>1}" loading="lazy">. Die Voraussetzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p>1}" loading="lazy"> ist allerdings wesentlich, wie das Beispiel einer integrierbaren Funktion mit überall divergenter Fourier-Reihe, das <a href="Kolmogorow" class="mw-redirect" title="Kolmogorow">Kolmogorow</a> 1926 fand, zeigt.<a href="#cite_note-Spektrum-7">[7]</a>

Da die Fourier-Transformation auch außerhalb der Mathematik einen großen Anwendungsbereich hat, ist man an einem <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a> interessiert, mit dem ein Computer die Fourier-Koeffizienten mit möglichst wenig Aufwand berechnen kann. Solche Verfahren nennt man Schnelle Fourier-Transformation. Der bekannteste Algorithmus stammt von <a href="James_Cooley" title="James Cooley">James Cooley</a> und <a href="John_W._Tukey" title="John W. Tukey">John W. Tukey</a>, die ihn 1965 veröffentlichten. Jedoch wurde ein Algorithmus schon 1805 von <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> entwickelt. Er benutzte ihn zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden <a href="(2)_Pallas" title="(2) Pallas">(2) Pallas</a> und <a href="(3)_Juno" title="(3) Juno">(3) Juno</a>. Zum ersten Male wurde eine Variante des Algorithmus von <a href="Carl_Runge" title="Carl Runge">Carl Runge</a> im Jahre 1903 beziehungsweise 1905 veröffentlicht. Darüber hinaus wurden vor Cooley und Tukey schon eingeschränkte Varianten der schnellen Fourier-Transformation veröffentlicht. So hat zum Beispiel <a href="Irving_John_Good" title="Irving John Good">Irving John Good</a> 1960 ebenfalls einen solchen Algorithmus veröffentlicht.<a href="#cite_note-Spektrum-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Motivation">Mathematische Motivation</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematische_Grundlagen">Mathematische Grundlagen</h3></div>

Wir betrachten stetige, von der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z. B. als vektorwertige Funktionen) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)}" loading="lazy">, die sich nach einer Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> wiederholen, also periodisch mit Periode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> sind, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t+T)=f(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t+T)=f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/700e88c62e3895153629ba21edece2498651b736.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.43ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t+T)=f(t)}" loading="lazy">.

<a href="Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Joseph Fourier</a> postulierte in seiner Arbeit, dass sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen, verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf2b9cbfe9051fd4e7b50c8028866d497eac35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.066ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N+1}" loading="lazy"> Summanden:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\cdots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})\\&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e0f70cd456e50329a54b22b62cf334c9a7b96b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.403ex; margin-bottom: -0.269ex; width:76.575ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\cdots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})\\&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die einzelnen Schwingungen haben die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a715856add181adc464455c8fd330b984d469c96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.841ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\omega }" loading="lazy">, also die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\omega /2\pi }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\omega /2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50ae55dfb31e28b5af61018e8a8d898225f044c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.497ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\omega /2\pi }" loading="lazy">. Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee06bfe8f48b840ea1c11f78977a90f661f2375e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/T}" loading="lazy">, die nächsten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69eb6bf37428afc03c73c356d44cff1cda7f308a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/T}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b254c9f328379242c950d71ee1508f3c596ac1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3/T}" loading="lazy">, …

Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die <a href="Additionstheoreme_(Trigonometrie)#Additionstheoreme" class="mw-redirect" title="Additionstheoreme (Trigonometrie)">Additionstheoreme</a> benutzen:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})\\&=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(\,\underbrace {A_{n}\cos \varphi _{n}} _{=a_{n}}\cdot \cos(n\omega t)-\underbrace {A_{n}\sin \varphi _{n}} _{=b_{n}}\cdot \sin(n\omega t)).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c0d225d850997867e81f5d73df150dcc7f3dd88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:61.673ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})\\&=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(\,\underbrace {A_{n}\cos \varphi _{n}} _{=a_{n}}\cdot \cos(n\omega t)-\underbrace {A_{n}\sin \varphi _{n}} _{=b_{n}}\cdot \sin(n\omega t)).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zusammen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}:=A_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}:=A_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2815ed2f96e3e04e69cb289f94abe2eaeab5737.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.827ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}:=A_{0}}" loading="lazy"> erhalten wir eine phasenfreie Darstellung

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/268cb86fa6f2da16b94fda2620a664d612bb39e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.186ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).}" loading="lazy"></dd></dl>

Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexer Zahlen</a> umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellwertige Funktionen</a> betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der <a href="Eulersche_Formel" title="Eulersche Formel">Euler-Formel</a> oder auch nach der <a href="Exponentialfunktion#Exponentialfunktion_auf_den_komplexen_Zahlen" title="Exponentialfunktion">Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion</a> folgt

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fc53b3f96c58db54446b518e9e689d4a45f8a0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.308ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6e47fc3560574cc3a51b176eafee3b8ca5db9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.699ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}" loading="lazy">,</dd></dl>

somit

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}\right).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/217d7b2782b20801b60a0d7e077dda4b27dcdb62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.505ex; width:61.108ex; height:22.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)\\&=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}\right).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit den komplexen Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}:=a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}:=a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/356582c69a398bdbc5c50ba28e36185d657c5351.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.09ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}:=a_{0}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/698fd02ba59d1413e362f8342a4bb211543d19ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:17.59ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{-n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{-n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/969c0183d6e7911b9f0c525dfd02f80fea501994.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:18.868ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle c_{-n}:={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}" loading="lazy"> für n>0 erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97e118b5197831344f7efc47f6466f4290059794.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.612ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fourier-Reihe">Fourier-Reihe</h3></div>

Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b7e944bcb1be88e9a6a940638f2adce0ec4211a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}}" loading="lazy">, und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen.

Dazu wird die obige Gleichung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/773dc1f85ddd92be718a440845d47637dd10e1e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.059ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}}" loading="lazy"> multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,T]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,T]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35ccef2d3dc751e081375d51c111709d8a1d7ac6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.126ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,T]}" loading="lazy">, d. h. über eine Periode integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage:

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}\\&=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83072a8a058ac55baab8c69f588bb2dff8bceaef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:63.292ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}\\&=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus folgt

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\,=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63526d3445ad3aad4e35d866009fe0ecee1e571b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.246ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\,=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te Integral auf der rechten Seite gilt:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

<mover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mover>

</mstyle>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t={\begin{cases}T&{\text{für }}n=0\\\displaystyle \ {\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(\!\!\!\overbrace {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega T}} ^{\quad =\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} n}=1}\!\!\!\!-1)=0&{\text{für }}n\neq 0.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2554df7458c18d5f97487766a91ba05bde50fe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:50.326ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t={\begin{cases}T&{\text{für }}n=0\\\displaystyle \ {\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(\!\!\!\overbrace {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega T}} ^{\quad =\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} n}=1}\!\!\!\!-1)=0&{\text{für }}n\neq 0.\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Es liefert also nur der Summand für n=0 einen Beitrag, es vereinfacht sich das Integral also zu

</mrow>

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</msubsup>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\;=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t=Tc_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ebdafc1cedc7cb7b1fd54a08b1c79ab4abe57cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:51.274ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)\mathrm {d} t\;=\!\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\mathrm {d} t=Tc_{m}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0f58d01e6f45a9ff95422434e3dcf4322395dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.615ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} m\omega t}\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion f zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der

Ausgangsfunktion vergleichen:

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f_{N}(t):=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{in\omega t}&={\frac {1}{T}}\sum _{n=-N}^{N}\int _{0}^{T}f(s)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega s}\,\mathrm {d} s\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{n=-N}^{N}f(s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega (t-s)}\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{T}}S_{N}(\omega (t-s))f(s)\,\mathrm {d} s.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b45d395511e6d4a2f23f2dd07d1478506c9c613a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:55.312ex; height:21.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f_{N}(t):=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{in\omega t}&={\frac {1}{T}}\sum _{n=-N}^{N}\int _{0}^{T}f(s)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega s}\,\mathrm {d} s\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{n=-N}^{N}f(s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega (t-s)}\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{T}}S_{N}(\omega (t-s))f(s)\,\mathrm {d} s.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit dem <a href="Dirichlet-Kern" title="Dirichlet-Kern">Dirichlet-Kern</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{N}(\tau ):=\sum _{n=-N}^{N}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \tau })^{n}={\frac {\sin((N+{\frac {1}{2}})\tau )}{\sin({\frac {1}{2}}\tau )}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6d5a5122c186168c04937ef38842bea587cf2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:38.648ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle S_{N}(\tau ):=\sum _{n=-N}^{N}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \tau })^{n}={\frac {\sin((N+{\frac {1}{2}})\tau )}{\sin({\frac {1}{2}}\tau )}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Aperiodische_Vorgänge_(Fourier-Integral)">Aperiodische Vorgänge (Fourier-Integral)</h3></div>

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)}" loading="lazy"> über dem Zeitintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">. Selbstverständlich gibt es auch nichtperiodische Funktionen, die diese Voraussetzung für kein endliches Zeitintervall erfüllen.

Wie schon gezeigt, hat die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-te Oberschwingung die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c559f86d777b4937867c514506887b93255a690c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n/T}" loading="lazy">.

Die Differenz der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Oberfrequenz von der vorherigen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/T-(n-1)/T=1/T}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/T-(n-1)/T=1/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348553295ddcd468b526f5036b7ddf1ff44ec436.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.099ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n/T-(n-1)/T=1/T}" loading="lazy">, das heißt, die Oberfrequenzen haben den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee06bfe8f48b840ea1c11f78977a90f661f2375e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/T}" loading="lazy">. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> gegen unendlich geht ihr Abstand gegen Null – die Summe wird im Grenzfall zum <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integral</a>.

Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }a(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ff47a58b665f3bf5cf1a9742238a4b5ef77cbea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:28.462ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }a(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d440c9c407f4da7040fad96d8bd45eb073b88ff5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:29.781ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle a(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> ist nun das kontinuierliche Spektrum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(\omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500cb227debf6537b445b7c68aaae734d990e6ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.485ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(\omega )}" loading="lazy"> geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.

Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Das angegebene Beziehungspaar gilt u. a. erneut für quadratintegrierbare Funktionen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differentialgleichungen">Differentialgleichungen</h2></div>

Die Fourier-Transformation wird oft eingesetzt, um <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a> zu lösen. Denn die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{inx}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{inx}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeec21eba0f9a8c1650f661f576b6c8442bbbcbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.759ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{inx}}" loading="lazy"> bzw. die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(nx),\cos(nx)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(nx),\cos(nx)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef6801d0c844d7511bd9730ae06a8b7fa45726e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(nx),\cos(nx)}" loading="lazy"> sind <a href="Eigenfunktion" class="mw-redirect" title="Eigenfunktion">Eigenfunktionen</a> der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um.

So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden. Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die Differentialgleichung ergibt den <a href="Frequenzgang" title="Frequenzgang">Frequenzgang</a> des Systems.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abstrakte_harmonische_Analyse">Abstrakte harmonische Analyse</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Harmonische_Analyse" title="Harmonische Analyse">Harmonische Analyse</a></div>

Die abstrakte harmonische Analyse ist die Weiterentwicklung der Fourier-Analysis auf <a href="Lokalkompakter_Raum" title="Lokalkompakter Raum">lokalkompakte</a> <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppen</a>. Auf diesen Gruppen kann man mit Hilfe des <a href="Haar-Ma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Haar-Maß">Haar-Maßes</a>, das das <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> als Spezialfall umfasst, ein Integral definieren. Zentral in der abstrakten harmonischen Analyse ist der Begriff der Charakters, der von <a href="Lew_Semjonowitsch_Pontrjagin" title="Lew Semjonowitsch Pontrjagin">Lew Semjonowitsch Pontrjagin</a> eingeführt wurde. Das ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi \colon G\to \mathrm {S} ^{1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi \colon G\to \mathrm {S} ^{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96b7eeaad4bbc14113ecd174dcba62a3d36fca1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.277ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \chi \colon G\to \mathrm {S} ^{1}}" loading="lazy"> von der lokalkompakten, abelschen Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> in die <a href="Sph%C3%A4re_(Mathematik)" title="Sphäre (Mathematik)">Sphäre</a>. In Analogie zu linearen <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionalen</a> und den <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualräumen</a> bilden ihre Gesamtheit die Dualgruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {G}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {G}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3257528da95b4ab702b74241ff5356d688de2ce0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {G}}}" loading="lazy">. Der Begriff Dualgruppe wird durch den <a href="Pontrjagin-Dualit%C3%A4t" title="Pontrjagin-Dualität">Dualitätssatz von Pontrjagin</a> gerechtfertigt. Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse versteht man dann unter der Abbildung

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(f)\colon {\widehat {G}}&\rightarrow {\mathbb {C} },\\{\mathcal {F}}(f)(\chi )&=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\mathrm {d} \lambda (x)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf5170a4282d30d43210177c9a9f2c113ef13e70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:30.246ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(f)\colon {\widehat {G}}&\rightarrow {\mathbb {C} },\\{\mathcal {F}}(f)(\chi )&=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\mathrm {d} \lambda (x)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Fourier-Transformation. Wählt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b345d1deeba33ddeec50da3846252c02a130b92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.603ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G=\mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{z}(x)=e^{ixz}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{z}(x)=e^{ixz}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6357a46ee14a36e89281323a6d13a95d2f8ba62b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \chi _{z}(x)=e^{ixz}}" loading="lazy"> so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {G}}=\mathbb {R} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {G}}=\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ce91f3a00ee738c73050d36a5f7084cfaebbb92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.603ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {G}}=\mathbb {R} }" loading="lazy"> und man erhält die klassische kontinuierliche Fourier-Transformation. In der abstrakten harmonischen Analyse gibt es genauso wie in der klassischen Fourier-Analysis für diese Transformation auch eine Rücktransformation. Außerdem umfasst diese abstrakte Fourier-Transformation auch die Fourier-Reihe sowie die <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a>, die <a href="Mellin-Transformation" title="Mellin-Transformation">Mellin-Transformation</a> und <a href="Liste_der_Fourier-Transformationen#Kontinuierliche_Transformationen" class="mw-redirect" title="Liste der Fourier-Transformationen">andere Transformationen</a> als Spezialfälle.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Rolf Brigola: <cite style="font-style:italic">Fourier-Analysis und Distributionen</cite>. edition swk, Hamburg 2013, ISBN 978-3-8495-2892-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fourier-Analysis&rft.au=Rolf+Brigola&rft.btitle=Fourier-Analysis+und+Distributionen&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=9783849528928&rft.place=Hamburg&rft.pub=edition+swk" style="display:none"> </li>

<li><a href="Salomon_Bochner" title="Salomon Bochner">S. Bochner</a>, <a href="K._Chandrasekharan" title="K. Chandrasekharan">K. Chandrasekharan</a>: Fourier Transforms. Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (Annals of mathematics studies 19, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220066-2313%22&key=cql">0066-2313</a>).</li>

<li><a href="Otto_F%C3%B6llinger" title="Otto Föllinger">Otto Föllinger</a>: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Bearbeitet von Mathias Kluw. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (Studium).</li>

<li>Burkhard Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2.</li>

<li><a href="Michael_James_Lighthill" title="Michael James Lighthill">M. J. Lighthill</a>: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics).</li>

<li>Athanasios Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. Reissued. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series).</li>

<li><a href="Elias_M._Stein" class="mw-redirect" title="Elias M. Stein">Elias M. Stein</a>, Rami Shakarchi: Princeton Lectures in Analysis. Band 1: Fourier Analysis. An Introduction. Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.</li>

<li>Jörg Lange, <a href="Tatjana_Lange" title="Tatjana Lange">Tatjana Lange</a>: Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich. Springer Vieweg 2019, ISBN 978-3-658-24849-9.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Fourier_analysis?uselang=de">Commons: Fourier-Analyse</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.falstad.com/fourier/">Fourier Series Applet</a> – <a href="Java-Applet" title="Java-Applet">Java-Applet</a> zur Demonstration der Fourier-Synthese (englisch, benötigt Java).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.j-berkemeier.de/Fouriersynthese.html">Fouriersynthese</a> – Webseite zur Demonstration der Fouriersynthese (benötigt JavaScript).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.diru-beze.de/signale/skripte/index.html">Vorlesungsskript</a> Anwendungen der Fourier-Transformation, Teile 1–6.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160417201227/http://www.ias.et.tu-dresden.de/multimedia/fourier/">Fourier-Analyse mit mechanischen Hilfsmitteln</a>, Archivlink abgerufen am 19. Juli 2022</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://tonecirc.de/page29/page_29.htm">Fourier- und Wavelettransformation einmal anders erklärt</a></li>

<li>Sigmar Ries: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131002094358/http://www.fh-meschede.de/public/ries/Fouriertransf.pdf">Grundlagen der Fourier-Transformation.</a> (PDF) Archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fwww.fh-meschede.de%2Fpublic%2Fries%2FFouriertransf.pdf">Original</a> am 2. Oktober 2013; abgerufen am 15. November 2014.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AFourier-Analysis&rft.title=Grundlagen+der+Fourier-Transformation&rft.description=Grundlagen+der+Fourier-Transformation&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20131002094358%2Fhttp%3A%2F%2Fwww.fh-meschede.de%2Fpublic%2Fries%2FFouriertransf.pdf&rft.creator=Sigmar+Ries&rft.source=http://www.fh-meschede.de/public/ries/Fouriertransf.pdf"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130124034521/http://www.uni-koblenz.de/~physik/informatik/DSV/DFT.pdf">Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT)</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 24. Januar 2013 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (PDF; 783 kB), studentischer Seminarvortrag, Universität Koblenz-Landau, 2005.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> H. Haase, H. Garbe, H. Gerth: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Elektrotechnik</cite>. Schöneworth Hannover, 2009, ISBN 978-3-9808805-5-8, S. 314 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fourier-Analysis&rft.au=H.+Haase%2C+H.+Garbe%2C+H.+Gerth&rft.btitle=Grundlagen+der+Elektrotechnik&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=9783980880558&rft.pages=314ff.&rft.pub=Sch%C3%B6neworth+Hannover" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Elena Prestini: <cite style="font-style:italic">The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models of the Real World</cite>. Birkhäuser, 2016, ISBN 978-1-4899-7989-6, S. 39 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.de/books/edition/The_Evolution_of_Applied_Harmonic_Analys/AbiiDQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&pg=PA39&printsec=frontcover">google.de</a> [abgerufen am 22. Dezember 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fourier-Analysis&rft.au=Elena+Prestini&rft.btitle=The+Evolution+of+Applied+Harmonic+Analysis%3A+Models+of+the+Real+World&rft.date=2016-12-01&rft.genre=book&rft.isbn=9781489979896&rft.pages=39&rft.pub=Birkh%C3%A4user" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Martin Bossert: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Nachrichtentechnik</cite>. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012, ISBN 978-3-486-70880-6, S. 90–92.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fourier-Analysis&rft.au=Martin+Bossert&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Nachrichtentechnik&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=9783486708806&rft.pages=90-92&rft.pub=Oldenbourg+Wissenschaftsverlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-mit1-5"><a href="#cite_ref-mit1_5-0">↑</a> Y.W. Lee, T.P. Cheatham Jr., J.B. Wiesner: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131002093452/http://18.7.29.232/bitstream/handle/1721.1/4912/RLE-TR-141-04718321.pdf?sequence=1">The Application of Correlation Functions in the Detection of Small Signals in Noise.</a> In: Technical Report Nr. 141. MIT Research Laboratory of Electronics, 13. Oktober 1949, archiviert vom <a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2F18.7.29.232%2Fbitstream%2Fhandle%2F1721.1%2F4912%2FRLE-TR-141-04718321.pdf%3Fsequence%3D1">Original</a> (nicht mehr online verfügbar) am 2. Oktober 2013; abgerufen am 30. Juli 2013.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AFourier-Analysis&rft.title=The+Application+of+Correlation+Functions+in+the+Detection+of+Small+Signals+in+Noise&rft.description=The+Application+of+Correlation+Functions+in+the+Detection+of+Small+Signals+in+Noise&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20131002093452%2Fhttp%3A%2F%2F18.7.29.232%2Fbitstream%2Fhandle%2F1721.1%2F4912%2FRLE-TR-141-04718321.pdf%3Fsequence%3D1&rft.creator=Y.W.+Lee%2C+T.P.+Cheatham+Jr.%2C+J.B.+Wiesner&rft.publisher=MIT+Research+Laboratory+of+Electronics&rft.date=1949-10-13&rft.source=http://18.7.29.232/bitstream/handle/1721.1/4912/RLE-TR-141-04718321.pdf?sequence=1">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Jean_Baptiste_Joseph_Fourier" class="mw-redirect" title="Jean Baptiste Joseph Fourier">Jean Baptiste Joseph Fourier</a>: Théorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, père et fils 1822 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=TDQJAAAAIAAJ">Volltext</a> in der Google-Buchsuche).

</li>

<li id="cite_note-Spektrum-7">↑ <a href="#cite_ref-Spektrum_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-Spektrum_7-1">b</a> <a href="#cite_ref-Spektrum_7-2">c</a> Chr. Schmid: <cite style="font-style:italic">Fourier-Analyse</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fourier-Analysis&rft.atitle=Fourier-Analyse&rft.au=Chr.+Schmid&rft.btitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.date=2000&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=3827404398&rft.place=Mannheim%2FHeidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-DuBois-8"><a href="#cite_ref-DuBois_8-0">↑</a> Paul Du Bois-Reymond: Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformeln, Abhandlungen der Mathematisch-Physicalischen Classe der K. Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1876, Volume 13, Seite 1–103

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4023453-8">4023453-8</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-10" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Fourier-Analysis&oldid=262298407">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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